STATISTIK

BAB I

PENDAHULUAN

A.       LATAR BELAKANG

Distribusi peluang merupakan konsep yang menjadi dasar pengembangan statistika inferensial, khususnya penaksiran parameter dan pengujian hipotesis,  menjadi topik utama dalam makalah ini. Menurut banyak pengamat distribusi peluang adalah salah satu dari sekian materi statistika yang paling bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.

Oleh karena itu penulis ingin menjabarkan sebuah judul yaitu “Distribusi Probabilitas Variable Random Distrik”.

B.        RUMUSAN MASALAH

1.      Apa itu nilai harapan dan rata-rata hitung dalam distribusi peluang ?

2.      Apa itu varians dan simpangan baku dalam distribusi peluang ?

3.      Apa itu distribusi binomial ?

4.      Apa itu distribusi poisson ?

5.      Apa itu distribusi multinomial ?

6.      Apa itu distribusi hipergeometrik ?

C.       TUJUAN PEMBAHASAN

1.      mengetahui nilai harapan dan rata-rata hitung dalam distribusi peluang.

2.      mengetahui varians dan simpangan baku dalam distribusi peluang.

3.      mengetahui distribusi binomial.

4.      mengetahui distribusi poisson.

5.      mengetahui distribusi multinomial.

6.      mengetahui distribusi hipergeometrik.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Nilai Harapan dan Rata-Rata Hitung  Distribusi Peluang

1.      Nilai harapan

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p(x), nilai harapan dari X {E[X]}, didefinisikan dengan :

                                                          

             

Contoh: Hitung nilai harapan dari  peubah acak X yang mempunyai kemungkinan nilai 0 dan 1 dengan p(X=0)= p(X=1) = ½ !

Jawab :                            

Nilai harapan dari X adalah :

2.      Rata-rata hitung

Contoh :

§  Dengan Tabel distribusi probabilitas x :

x	0	1	2	3	jumlah
f (x)	0,1	0,2	0,4	0,3	1
x.f (x)	0	0,2	0,8	0,9	1,9

         å x.f (x) = E (x)

§  Dengan rumus :

E(x) = Σx.f(x)

 = 0.(0,1) + 1.(0,2) + 2(0,4) + 3(0,3)

 = 1,9

B.     Varians dan Simpangan Baku Distribusi Peluang

1.      Varians

 

2.      Simpangan baku atau standar deviasi

 

Contoh : Diketahui tabel distribusi probabilitas sebagai berikut :

x	0	1	2	3	4	5	jml
f(x)	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	1

Tentukan varians dan simpangan baku dari table di atas !

Jawab :

x	0	1	2	3	4	5	jml
f(x)	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	1
x.f(x)	0	0,1	0,4	0,9	0,8	0,5	2,7
x2.f(x)	0	0,1	0,8	2,7	3,2	2,5	9,3

=

= E(x)

= E(x²)

§  s²    = E(x²) - E(x)²

      = 9,3 – (2,7)2

      = 2,01

§  s     = Ös²

      = Ö2,01 = 1,42

C.    Distribusi Binomial

Definisi Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah :

 

Keterangan :        x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X

                             p = peluang berhasil pada setiap ulangan

                             q = peluang gagal = 1 – p pada setiap ulangan

Contoh  : Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!

Jawab :

Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"

x = 3

n = 5 pelemparan diulang 5 kali

p =                                 q =  1-  =

                     =  = 10 ´ 0.003215...= 0.03215...

D.          Distribusi poisson

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

1.         Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah.

2.         Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit.

3.         Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

Distribusi piosson adalah :

                                        

keterangan :     e = bilangan natural = 2.71828...

                        x = banyaknya unsur berhasil

                             dalam sampel.

m = rata-rata keberhasilan.

Contoh :  Peluang sesorang akan mendapat reaksi buruk setelah di suntik besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang orang yang mendapat reaksi buruk, jika ada dua orang !

Jawab :   Dalam hal ini x = 2, sehingga :

p (2) = e^-2 2²  = 0,2706

                                            2!

E.     Distribusi multinomial

Distribusi multinomial merupakan distribusi variabel acak diskrit dimana suatu percobaan dapat menghasilkan beberapa kejadian. Distribusi ini merupakan perluasan distribusi binomial.

Misalkan sebuah percobaan menghasilkan kejadian E₁, E₂, … , E_k dengan peluang p₁ = P(E₁), p₂ = P(E₂), … , p_k =P(E_k) dengan p₁ + p₂ + ……… + p_k = 1 dan dilakukan percobaan sebanyak N kali maka peluang terjadinya x₁ peristiwa E₁, x₂ peristiwa E₂, … , x_k peristiwa E_k diantara N, ditentukan oleh :

 

Contoh : Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang dari mata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 masing-masing tepat kedua kali adalah ?

Jawab :

           p(x₁, x₂,x₃, x₄, x₅, x₆) =           12!              R(1/6)² (1/6)² (1/6)² (1/6)² (1/6)² (1/6)²

                                                             2! 2! 2! 2! 2! 2!

                                                      = 0,0034

F.     Distribusi hipergiometrik

Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian dari kejadian sampling yang diambil dari populasi dengan kejadian-kejadian terbatas, proses Bernouli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan secara sistematis dalam probabilitas sukses seperti kejadian-kejadian yang diambil dari populasi, distribusi hipergeomentrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat. Jika terdapat populasi berukuran N diantaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu, sebuah populasi tertentu bersampel acak diambil yang berukuran n akan memiliki peluang dalam sampel yang terdapat x buah sebanyak :

 

Percobaan hipergeometrik bercirikan dua sifat berikut:

1.      Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N.

2.      n dari N benda diklasifiksikan sebagai berhasil dan N – n benda diklasifikasikan sebagai gagal.

Contoh :   Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruhan tumpukan itu?

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi

p (x)             =

            p (1;40;5;3) =   =  0,3011

BAB III

PENUTUP

A.       KESIMPULAN

§  Nilai harapan = E[X] =

§  Rata-rata hitung = mx= E(x) = Σx.f(x)

§  Varians =   s²   = E(x²) - E(x)²

       = Σ(x².f(x)) –[ Σ(x.f(x))]²

§  Simpangan baku = s = Ös²

§  Distribusi Binomial =

§  Distribusi poisson =

§  Distribusi multinomial = p(x₁, x₂, …. , x_k) =           N!        p 𝜋₁^𝑥1 𝜋₂^𝑥2 … … 𝜋_𝑘^𝑥𝑘

x₁! x²! …. x_k!

§  Distribusi hipergiometrik = p (x) =

B.        SARAN

Pemakalah sadar akan ketidak sempurnaan makalah ini, untuk itu pemakalah mengharapkan kritik dan saran dari pembaca agar menjadi makalaah yang lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA

Pasaribu, Amudi. 1983. Pengantar Statistik. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sudjana. 2005. Metoda Statistika, Edisi ke-6. Bandung: PT.Taksiro Bandung.

Walpole, R. E. 1993. Pengantar Statistika, Edisi ke-3. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.

Walpole, Ronald E dan Raymond H Myers. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung : ITB.

Distribusi_Peluang_[Compatibility_Mode].pdf